Основанием пирамиды SABCD является выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали АС и BD которого перпендикулярны и пересекаются в точке O, АО = 12, 
ВО = OD = 5. Вершина S пирамиды SABCD удалена на расстояние 
от каждой из прямых AB, BC, СD и AD. Через середину высоты пирамиды SABCD параллельно ее основанию проведена секущая плоскость, которая делит пирамиду на две части. Найдите значение выражения 68 · V, где V — объем большей из частей.
Пусть SH — высота пирамиды. Если S равноудалена от сторон ABCD, то и точка H равноудалена от сторон ABCD, следовательно, точка H — центр вписанной окружности ABCD. Воспользуемся формулой 
где p — полупериметр. Находим:
Тогда
отсюда
По теореме Пифагора
Сечение, проведенное через середину высоты, делит пирамиду на две части, одна из которых — пирамида, подобная исходной с коэффициентом 1 : 2. Поэтому объем частей составляет 
и 
от объема исходной пирамиды. Таким образом,
Ответ: 5915.